Q21 Matemática  (Balkan MO Shortlist 2015)

Para um inteiro positivo $s$, denote com $v_2(s)$ a potência máxima de $2$ que divide $s$. Prove que para qualquer inteiro positivo $m$ que: $$v_2\left(\prod _{n=1}^{2^m}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)\right)=m{2}^{m-1}+1.$$ (ARJM)