Q9 Matemática (Balkan MO Shortlist 2014)

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Seja $M = {1, 2, ..., 2013}$ e seja $Γ$ um círculo. Para cada subconjunto não vazio $B$ do conjunto $M$ , denote por $S (B)$ soma dos elementos do conjunto $B$ e defina $S (\emptyset) = 0$ ( $\emptyset$ é o conjunto vazio). É possível juntar todo subconjunto $B$ de $M$ com algum ponto $A$ no círculo $Γ$ para que as seguintes condições sejam cumpridas: $1$ . Diferentes subconjuntos são unidos com diferentes pontos; $2$ . Todos os pontos unidos são vértices de um polígono regular; $3$ . Se $A_{1}, A_{2}, ..., A_{k}$ são alguns dos pontos unidos, $k > 2$ , tal que $A_{1} A_{2} ... A_{k}$ é um $k - g o n$ regular, então $2014$ divide $S (B_{1}) + S (B_{2}) + ... + S (B_{k})$ ?