Q16 Matemática (Balkan MO Shortlist 2012)

16 | Balkan MO Shortlist | 2012 | Matemática

Deixe que as sequências $(a_{n})_{n = 1}^{\infty}$ e $(b_{n})_{n = 1}^{\infty}$ satisfaçam $a_{0} = b_{0} = 1, a_{n} = 9 a_{n - 1} - 2 b_{n - 1}$ e $b_{n} = 2 a_{n - 1} + 4 b_{n - 1}$ para todos os inteiros positivos $n$ . Seja $c_{n} = a_{n} + b_{n}$ para todos os inteiros positivos $n$ . Prove que não existem inteiros positivos $k, r, m$ tais que $c_{r}^{2} = c_{k} c_{m}$ .