Q11 Matemática  (Balkan MO Shortlist 2012)

Seja $M$ o ponto de intersecção das diagonais de um quadrilátero cíclico $ABCD$. Sejam $I_1$ e $I_2$ os incentros dos triângulos $AMD$ e $BMC$, respectivamente, e $L$ o ponto de intersecção das retas $D{I}_1$ e $C{I}_2$. O pé da perpendicular do ponto médio $T$ de $I_1{I}_2$ a $CL$ é $N$, e $F$ é o ponto médio de $TN$. Sejam $G$ e $J$ os pontos de intersecção da reta $LF$ com $I_{1}N$ e $I_1{I}_2$, respectivamente. Seja $O_1$ o circuncentro do triângulo $L{I}_{1}J$, e sejam ${\Gamma }_1$ e ${\Gamma }_2$ os círculos com diâmetros $O_{1}L$ e $O_{1}J$, respectivamente. Sejam $V$ e $S$ os segundos pontos de intersecção de $I_1{O}_1$ com ${\Gamma }_1$ e ${\Gamma }_2$, respectivamente. Se $K$ é o ponto onde os círculos ${\Gamma }_1$ e ${\Gamma }_2$ se encontram novamente, prove que $K$ é o circuncentro do triângulo $SVG$.