Q5 Matemática  (Balkan MO Shortlist 2012)

Sejam $f,g:\mathbb{Z}\to [0,\infty )$ duas funções tais que $f(n)=g(n)=0$ com exceção de um número finito de inteiros $n$. Defina $h:\mathbb{Z}\to [0,\infty )$ por $$h(n)=\max \{f(nk)g(k):k\in \mathbb{Z}\}.$$ Sejam $p$ e $q$ dois reais positivos tais que $1/p+1/q=1$. Prove que $$\sum _{n\in \mathbb{Z}}h(n)\ge (\sum _{n\in \mathbb{Z}}f(n{)}^p{)}^{1/p}(\sum _{n\in \mathbb{Z}}g(n{)}^q{)}^{1/q}.$$