Q12 Matemática  (Balkan MO Shortlist 2011)

Dado um número ímpar $n>1$, seja $$\begin{array}{r}S=\{k\mid 1\le k<n,\gcd (k,n)=1\}\end{array}$$e seja $$\begin{array}{r}T=\{k\mid k\in S,\gcd (k+1,n)=1\}\end{array}$$Para cada $k\in S$, seja $r_k$ seja o resto deixado por $\frac{k^{|S|}-1}{n}$ na divisão por $n$. Prove $$\begin{array}{r}\prod _{k\in T}\left(r_k-r_{nk}\right)\equiv |S{|}^{|T|}(\mathrm{mod}n)\end{array}$$