Q8 Matemática  (Balkan MO Shortlist 2011)

Dado um triângulo $ABC$, a reta paralela ao lado $BC$ e tangente à circunferência do triângulo encontra os lados $AB$ e $AC$ nos pontos $A_1$ e $A_2$ , os pontos $B_1,B_2$ e $C_1,C_2$ são definidos de forma semelhante. Mostre que $$A{A}_1\cdot A{A}_2+B{B}_1\cdot B{B}_2+C{C}_1\cdot C{C}_2\ge \frac{1}{9}(A{B}^2+B{C}^2+C{A}^2)$$