Q16 Matemática  (Balkan MO Shortlist 2010)

Um triângulo $ABC$ é dado. Seja $M$ o ponto médio do lado $AC$ do triângulo e $Z$ a imagem do ponto $B$ ao longo da reta $BM$. A circunferência de centro $M$ e raio $MB$ intercepta as retas $BA$ e $BC$ nos pontos $E$ e $G$ respectivamente. Seja $H$ o ponto de interseção de $EG$ com a reta $AC$, e $K$ o ponto de interseção de $HZ$ com a reta $EB$. A perpendicular do ponto $K$ à reta $BH$ intercepta as retas $BZ$ e $BH$ nos pontos $L$ e $N$, respectivamente. Se $P$ é o segundo ponto de interseção dos círculos circunscritos dos triângulos $KZL$ e $BLN$, prove que as retas $BZ,KN$ e $HP$ se cruzam em um ponto comum.