Q15 Matemática  (Balkan MO Shortlist 2010)

Em um triângulo $ABC$ o círculo do lado $BC$ toca $BC$ no ponto $D$ e as retas $AB$ e $AC$ nos pontos $E$ e $F$ respectivamente. Seja $P$ a projeção de $D$ em $EF$. Prove que o circuncírculo $k$ do triângulo $ABC$ passa por $P$ se e somente se $k$ passa pelo ponto médio $M$ do segmento $EF$.