Q14 Matemática  (Balkan MO Shortlist 2010)

Seja $ABC$ um triângulo agudo com ortocentro $H$, e seja $M$ o ponto médio de $AC$. O ponto $C_1$ em $AB$ é tal que $C{C}_1$ é uma altura do triângulo $ABC$. Seja $H_1$ o reflexo de $H$ em $AB$. As projeções ortogonais de $C_1$ nas linhas $A{H}_1$, $AC$ e $BC$ são $P$, $Q$ e $R$, respectivamente. Seja $M_1$ o ponto tal que o circuncentro do triângulo $PQR$ seja o ponto médio do segmento $M{M}_1$. Prove que $M_1$ está no segmento $B{H}_1$.