Q13 Matemática  (Balkan MO Shortlist 2010)

Seja $ABC$ um triângulo dado e $\ell$ uma linha que atende as linhas $BC,CA$ e $AB$ em $A_1,B_1$ e $C_1$ respectivamente. Seja $A^{\prime }$ o ponto médio do segmento conectando as projeções de $A_1$ nas linhas $AB$ e $AC$. Construa, analogamente, os pontos $B^{\prime }$ e $C^{\prime }$. (a) Mostre que os pontos $A^{\prime },B^{\prime }$ e $C^{\prime }$ são colineares em alguma linha ${\ell }^{\prime }$. (b) Mostre que se $\ell$ contém o circuncentro do triângulo $ABC$, então ${\ell }^{\prime }$ contém o centro de seu círculo de Euler.