Q12 Matemática  (Balkan MO Shortlist 2010)

A circunferência do triângulo $A_0{B}_0{C}_0$ toca os lados $B_0{C}_0,C_0{A}_0,A_0{B}_0$ nos pontos $A,B,C$ respectivamente, e a circunferência do triângulo $ABC$ com incentro $I$ toca os lados $BC,CA,AB$ nos pontos $A_1,B_1,C_1$, respectivamente. Sejam $\sigma (ABC)$ e $\sigma (A_1{B}_{1}C)$ as áreas dos triângulos $ABC$ e $A_1{B}_{1}C$ respectivamente. Mostre que se $\sigma (ABC)=2\sigma (A_1{B}_{1}C)$ , então as retas $A{A}_0,B{B}_0,I{C}_1$ passam por um ponto comum .