Q9 Matemática  (Balkan MO Shortlist 2010)

Um trem consiste em vagões de 2.010,00 contendo moedas de ouro, todas da mesma forma. Quaisquer duas moedas têm o mesmo peso desde que estejam no mesmo vagão, e diferem em peso se estiverem em diferentes. O peso de uma moeda é um dos reais positivos \begin{align*} m_1 \lt m_2 \lt \ldots \lt m_{2010} \end{align*}Cada vagão é marcado por uma etiqueta com um dos números m_1,m_2 , \ldots , m_{2010}$ (os números em diferentes rótulos são diferentes). Um controlador tem um par de balanças (permitindo apenas comparar massas) à sua disposição. Durante cada medição, ele pode usar um número arbitrário de moedas de qualquer um dos vagões. O controlador tem a tarefa de estabelecer: se todas as etiquetas mostram corretamente o peso comum das moedas em um vagão ou se existe pelo menos uma etiqueta errada. Qual é o menor número de medições que o controlador deve realizar para realizar sua tarefa?