Q3 Matemática  (Balkan MO Shortlist 2009)

Denote por $S(x)$ a soma dos dígitos do inteiro positivo $x$ escrito em notação decimal. Para $k$ um inteiro positivo fixo, defina uma sequência $(x_n{)}_{n\ge 1}$ por $x_1=1$ e $x_{n+1}$ $=$ $S(k{x}_n)$ para todos inteiros positivos $n$. Prove que $x_n$ $<$ $27\sqrt{k}$ para todo inteiro positivo $n$.