Q24 Matemática  (Balkan MO Shortlist 2008)

Seja $(a_n)$ uma sequência com $a_1=0$ e $a_{n+1}=2+a_n$ para $n$ ímpar e $a_{n+1}=2a_n$ para $n$ par. Prove que para cada primo $p>3$, o número $$\begin{array}{r}b=\frac{2^{2p}-1}{3}\mid a_n\end{array}$$para infinitos valores de $n$