Q17 Matemática  (Balkan MO Shortlist 2008)

No triângulo $ABC$ o $AM$ ($M\in BC$) é a mediana e $B{B}_1$ e $C{C}_1$ ($B_1\in AC,C_1\in AB$) são altitudes. A reta $d$ é perpendicular a $AM$ no ponto $A$ e cruza as retas $B{B}_1$ e $C{C}_1$ nos pontos $E$ e $F$ respectivamente. Seja denotado com $\omega$ o círculo que passa pelos pontos $E,M$ e $F$ e com ${\omega }_1$ e com ${\omega }_2$ os círculos que são tangentes ao segmento $EF$ e com $\omega$ no arco $EF$ que não contém o ponto $M$. Se os pontos $P$ e $Q$ são pontos de interseção para ${\omega }_1$ e ${\omega }_2$ então prove que os pontos $P,Q$ e $M$ são colineares.