Q8 Matemática  (Balkan MO Shortlist 2008)

Todos os escritórios $n+3$ da University of Somewhere são numerados com os números $0,1,2,\dots ,$ $n+1,$ $n+2$ para alguns $n\in \mathbb{N}$. Um dia, o professor $D$ apresentou um polinômio com coeficientes reais e potência $n$. Então, na porta de cada escritório ele escreveu o valor daquele polinômio avaliado no número atribuído àquele escritório. No $i$th escritório, para $i$ $\in$ $\{0,1,\dots ,n+1\}$ ele escreveu $2^i$ e no $(n+2)$th escritório ele escreveu $2^{n+2}$ $-n-3$. Prove que o professor D cometeu um erro de cálculo Supondo que o professor D cometeu um erro de cálculo, qual é o menor número de erros que ele cometeu? Prove que neste caso os erros são determinados de forma única, encontre-os e corrija-os.