Q5 Matemática  (Balkan MO Shortlist 2008)

Considere um inteiro $n \geq 1$, $a_1,a_2, \ldots , a_n$ números reais em $[-1,1]$ satisfazendo \begin{align*}a_1+a_2+\ldots +a_n=0 \end{ align*}e uma função $f: [-1,1] \mapsto \mathbb{R}$ tal \begin{align*} \mid f(x)-f(y) \mid \le \mid xy \mid \end{align*}para cada $x,y \in [-1,1]$. Prove \begin{align*} \left| f(x) - \frac{f(a_1) +f(a_2) + \ldots + f(a_n)}{n} \right| \le 1 \end{align*}para cada $x$ $\in [-1,1]$. Para uma dada sequência $a_1,a_2, \ldots ,a_n$, Encontre $f$ e $x$ para que a igualdade seja válida.