Q4 Matemática  (Balkan MO Shortlist 2008)

Consideramos o conjunto $$\begin{array}{r}{\mathbb{C}}^{\nu }=\{(z_1,z_2,\dots ,z_{\nu })\in \mathbb{C}\},nu\ge 2\end{array}$$e a função $\varphi :{\mathbb{C}}^{\nu }⟶{\mathbb{C}}^{\nu }$ mapeando cada elemento $(z_1,z_2,ldots,z_{\nu })\in {\mathbb{C}}^{\nu }$ para $$\begin{array}{r}\varphi (z_1,z_2,\dots ,z_{\nu })=\left(z_1-z_2,z_2-z_3,\dots ,z_{\nu }-z_1\right)\end{array}$$Também consideramos a $\nu -$tupla $({\omega }_0,{\omega }_1,\dots ,{\omega }_{nu-1})$ $\in {\mathbb{C}}^{\nu }$ das $n-$th raízes de $-1$, onde $$\begin{array}{r}{\omega }_{\mu }=\cos \left(\frac{\pi +2\mu \pi }{\nu }\right)+\iota \mathrm{sen}\left(\frac{\pi +2\mu \pi }{\nu }\right)qquad\mu =0,1,\dots ,\nu -1\end{array}$$Deixe depois de $\kappa$ (onde $\kappa$ $\in$ $\mathbb{N}$ ), sucessivas aplicações de $\varphi$ ao elemento $({\omega }_0,{\omega }_1,\dots ,{\omega }_{\nu -1})$, obtemos o elemento $$\begin{array}{r}{\varphi }^{(\kappa )}\left({\omega }_0,{\omega }_1,\dots ,{\omega }_{\nu -1}\right)=\left(Z_{\text{ka}ppa1},Z_{\kappa 2},\dots ,Z_{\kappa \nu }\right)\end{array}$$Determinar os valores de $\nu$ para os quais todas as coordenadas de ${\varphi }^{(kappa)}\left({\omega }_0,{\omega }_1,\dots ,{\omega }_{\nu -1}\right)$ tem medidas menores ou iguais a $1$ para $\nu =4$, o valor mínimo de $kappa\in \mathbb{N}$, para o qual \begin{align*} \mid Z_{\kappa i} \mid \geq 2^{100} \qquad \qquad 1 \le i \le 4 \end{align *}