Q12 Matemática  (Balkan MO Shortlist 2007)

Seja $\omega$ um círculo de centro $O$ e seja $A$ um ponto fora de $\omega$. As tangentes de $A$ tocam $\omega$ nos pontos $B$ e $C$. Seja $D$ o ponto em que a linha $AO$ intercepta o círculo tal que $O$ está entre $A$ e $D$. Denote por $X$ a projeção ortogonal de $B$ sobre $CD$, por $Y$ o ponto médio do segmento $BX$ e por $Z$ o segundo ponto de interseção da reta $DY$ com $\omega$ . Prove que $ZA$ e $ZC$ são perpendiculares entre si.