Q10 Matemática  (Balkan MO Shortlist 2007)

Seja $\mathcal{F}$ o conjunto de todas as funções $f:\mathcal{P}(S)⟶\mathbb{R}$ tal que para todo $X,Y\subseteq S$, temos $f(X\cap Y)=\min (f(X),f(Y))$, onde $S$ é um conjunto finito (e $\mathcal{P}(S)$ é o conjunto de seus subconjuntos) . Encontre $$\underset{f\in \mathcal{F}}{\max }|\text{Im}(f)|.$$