Q3 Matemática  (Balkan MO 2020)

Seja $k$ um inteiro positivo. Determine o menor inteiro positivo $n$, com $n\ge k+1$, para o qual o jogo abaixo pode ser jogado indefinidamente: Considere $n$ caixas, rotuladas $b_1,b_2,...,b_n$. Para cada índice $i$, a caixa $b_i$ contém exatamente $i$ moedas. Em cada etapa, as três subetapas a seguir são executadas em ordem: (1) Escolha as caixas $k+1$; (2) Dessas caixas $k+1$, escolha $k$ e remova pelo menos metade das moedas de cada uma, e adicione à caixa restante, se rotulada como $b_i$, um número de moedas $i$. (3) Se uma das caixas ficar vazia, o jogo termina; Caso contrário, vá para a próxima etapa. Proposto por Demetres Christofides, Chipre