Q4 Matemática  (Balkan MO 2013)

Em uma competição matemática, alguns competidores são amigos; a amizade é mútua, ou seja, quando $A$ é amigo de $B$, então $B$ também é amigo de $A$. Dizemos que $n\ge 3$ concorrentes diferentes $A_1,A_2,\dots ,A_n$ formam um ciclo fracamente amigável se $A_i$ não for amigo de $A_{i+1}$ por $1\le ileqn$ (onde $A_{n+1}=A_1$), e não há outros pares de não amigos entre os componentes do ciclo. A seguinte propriedade é satisfeita: "para cada concorrente $C$ e cada ciclo fracamente amigável $\mathcal{S}$ de concorrentes não incluindo $C$, o conjunto de concorrentes $D$ em $\mathcal{S}$ que não são amigos de $C$ tem no máximo um elemento" Prove que todos os competidores desta competição matemática podem ser organizados em três salas, de modo que cada dois competidores na mesma sala sejam amigos. (Sérvia)