Q3 Matemática  (Balkan MO 2012)

Seja $n$ um inteiro positivo. Seja $P_n=\{2^n,2^{n-1}\cdot 3,2^{n-2}\cdot 3^2,\dots ,3^n\}.$ Para cada subconjunto $X$ de $P_n$, escrevemos $S_X$ para a soma de todos os elementos de $X$, com a convenção de que $S_{\varnothing }=0$ onde $\varnothing$ é o conjunto vazio. Suponha que $y$ seja um número real com $0\le y\le 3^{n+1}-2^{n+1}.$ Prove que existe um subconjunto $Y$ de $P_n$ tal que $0leqy-S_Y<2^n$