Q5 Matemática  (Balkan MO 2004)

plano é dividido em regiões por um número finito de linhas não três das quais são concorrentes. Duas regiões são chamadas de "vizinhas" se a interseção de seus limites for um segmento, ou meia linha ou uma linha (um ponto não é um segmento). Um inteiro deve ser atribuído a cada região de tal forma que: i) o produto dos inteiros atribuídos a quaisquer dois vizinhos seja menor que sua soma; ii) para cada uma das linhas dadas, e cada um dos semiplanos por ela determinados, a soma dos inteiros, atribuídos a todas as regiões situadas neste semiplano igual a zero. Prove que isso é possível se e somente se nem todas as linhas são paralelas.