Q3 Matemática (Austrian-Polish 2003)

03 | Austrian-Polish | 2003 | Matemática

$A BC$ é um triângulo. Tome $a = BC$ etc, como de costume. Pegue os pontos $T_{1}, T_{2}$ no lado $A B$ para que $A T_{1} = T_{1} T_{2} = T_{2} B$ . Da mesma forma, pegue os pontos $T_{3}, T_{4}$ no lado BC para que $B T_{3} = T_{3} T_{4} = T_{4} C$ , e pontos $T_{5}, T_{6}$ no lado $C A$ para que $C T_{5} = T_{5} T_{6} = T_{6} A$ . Mostre que se $a^{'} = B T_{5}, b^{'} = C T_{1}, c^{'} = A T_{3}$ , então existe um triângulo $A^{'} B^{'} C^{'}$ com lados $a^{'}, b^{'}, c^{'}$ ( $a^{'} = B^{'} C$ ' etc). Da mesma forma pegamos pontos $T_{i}^{'}$ nos lados de $A^{'} B^{'} C^{'}$ e colocamos $a^{''} = B^{'} T_{6}^{'}, b^{''} = C^{'} T_{2}^{'}, c^{''} = A^{'} T_{4}^{'}$ . Mostre que existe um triângulo $A^{''} B^{''} C^{''}$ com lados $a^{''} b^{''}, c^{''}$ e que é semelhante a $A BC$ . Encontre $a^{''} / a$ . Austríaco-Polonês 2003