Q8 Matemática  (Austrian-Polish 1989)

$ABC$ é um triângulo de ângulo agudo e $P$ um ponto dentro ou no limite. Os pés das perpendiculares de $P$ a $BC,CA,AB$ são $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ respectivamente. Mostre que se $ABC$ é equilátero, então $\frac{A{C}^{\prime }+B{A}^{\prime }+C{B}^{\prime }}{P{A}^{\prime }+P{B}^{\prime }+P{C}^{\prime }}$ é o mesmo para todas as posições de $P$, mas para qualquer outra triângulo não é.