Q5 Matemática  (Austrian-Polish 1989)

Seja $A$ um vértice de um cubo $\omega$ circunscrito a uma esfera $k$ de raio $1$. Consideramos as linhas $g$ a $A$ contendo pelo menos um ponto de $k$. Seja $P$ o ponto de interseção de $g$ e $k$ mais próximo de $A$, e $Q$ o segundo ponto de interseção de $g$ e $\omega$. Determine o valor máximo de $AP\cdot AQ$ e caracterize as linhas $g$ que produzem o máximo.