Q3 Matemática  (Austrian-Polish 1987)

Uma função $f:R\to R$ satisfaz $f(x+1)=f(x)+1$ para todo $x$. Dado $a\in R$, defina a sequência $(x_n)$ recursivamente por $x_0=a$ e $x_{n+1}=f(x_n)$ para $n\ge 0$. Suponha que, para algum inteiro positivo m, a diferença $x_m-x_0=k$ seja um inteiro. Prove que o limite ${\lim }_{n\to \infty }\frac{x_n}{n}$ existe e determine seu valor.