Q8 Matemática  (Austrian-Polish 1978)

Para qualquer inteiro positivo $k$ considere a sequência $$a_n=\sqrt{k+\sqrt{k+\cdots +\sqrt{k}}},$$ onde existem $n$ sinais de raiz quadrada no lado direito. (a) Mostre que a sequência converge, para todo inteiro fixo $k\ge 1$. (b) Encontre $k$ tal que o limite seja um inteiro. Além disso, prove que se $k$ é ímpar, então o limite é irracional.