Q7 Matemática  (Austrian-Polish 1978)

Seja $M$ o conjunto de todos os pontos da rede no plano (isto é, pontos com coordenadas inteiras, em um sistema de coordenadas cartesianas fixas). Para qualquer ponto $P=(x,y)\in M$ chamamos os pontos $(x-1,y)$, $(x+1,y)$, $(x,y-1)$, $(x,y+1)$ vizinhos de $P$. Seja $S$ um subconjunto finito de $M$. Um mapeamento um-para-um $f$ de $S$ em $S$ é chamado de perfeito se $f(P)$ for um vizinho de $P$, para qualquer $P\in S$. Prove que se tal mapeamento existe, então existe também um mapeamento perfeito $g:S\to S$ com a propriedade adicional $g(g(P))=P$ para $P\in S$.