Q2 Matemática  (APMO 2020)

Mostre que $r=2$ é o maior número real $r$ que satisfaz a seguinte condição: Se uma sequência $a_1$, $a_2$, $\dots$ de inteiros positivos satisfaz as desigualdades $$a_n\le a_{n+2}\le \sqrt{a_n^2+r{a}_{n+1}}$$para todo inteiro positivo $n$, então existe um inteiro positivo $M$ tal que $a_{n+2}=a_n$ para cada $n\ge M$.