Q2 Matemática  (APMO 2019)

Seja $m$ um inteiro positivo fixo. A sequência infinita $\{a_n{\}}_{n\ge 1}$ é definida da seguinte forma: $a_1$ é um inteiro positivo, e para cada inteiro $n\ge 1$ temos $$a_{n+1}=\{\begin{array}{ll}{a}_n^2+2^m& \text{if }{a}_n<2^m\\ a_n/2& \text{if }{a}_n\ge 2^m\end{array}$$ Para cada $m$, determine todos os valores possíveis de $a_1$ de modo que cada termo na sequência seja um inteiro.