Q4 Matemática  (APMO 2013)

Sejam $a$ e $b$ inteiros positivos, e sejam $A$ e $B$ conjuntos finitos de inteiros que satisfazem (i) $A$ e $B$ são disjuntos; (ii) se um inteiro $i$ pertence a $A$ ou a $B$, então $i+a$ pertence a $A$ ou $ib$ pertence a $B$. Prove que $a\left|A\right|=b\left|B\right|$. (Aqui $\left|X\right|$ denota o número de elementos no conjunto $X$.)