Q3 Matemática  (APMO 2013)

Para $2k$ números reais $a_1,a_2,...,a_k$, $b_1,b_2,...,b_k$ defina uma sequência de números $X_n$ por $$X_n=\sum _{i=1}^k[a_{i}n+b_i](n=1,2,...).$$ Se a sequência $X_N$ forma uma progressão aritmética, mostre que ${\sum }_{i=1}^k{a}_i$ deve ser um inteiro. Aqui $[r]$ denota o maior inteiro menor ou igual a $r$.