Q2 Matemática  (APMO 2012)

Em cada caixa de uma grade quadrada $2012\times 2012$, é inserido um número real maior ou igual a $0$ e menor ou igual a $1$. Considere dividir a grade em retângulos não vazios de $2$ que consistem em caixas da grade desenhando uma linha paralela ao lado horizontal ou vertical da grade. Suponha que para pelo menos um dos retângulos resultantes a soma dos números nas caixas dentro do retângulo seja menor ou igual a $1$, não importa como a grade seja dividida em $2$ tais retângulos. Determine o valor máximo possível para a soma de todos os números de $2012\times 2012$ inseridos nas caixas.