Q4 Matemática  (APMO 2011)

Seja $n$ um inteiro ímpar positivo fixo. Tome $m+2$ pontos distintos $P_0,P_1,\dots ,P_{m+1}$ (onde $m$ é um inteiro não negativo) no plano coordenado de tal forma que as três condições a seguir sejam satisfeitas : 1) $P_0=(0,1),P_{m+1}=(n+1,n)$, e para cada inteiro $i,1\le i\le m$, tanto $x$- quanto $y$- as coordenadas de $P_i$ são números inteiros entre $1$ e $n$ ($1$ e $n$ inclusive). 2) Para cada inteiro $i,0\le i\le m$, $P_i{P}_{i+1}$ é paralelo ao eixo $x$ se $i$ é par, e é paralelo ao $y$- eixo se $i$ for ímpar. 3) Para cada par $i,j$ com $0\le i<j\le m$, os segmentos de reta $P_i{P}_{i+1}$ e $P_j{P}_{j+1}$ compartilham no máximo $1$ ponto. Determine o valor máximo possível que $m$ pode assumir.