Q3 Matemática  (APMO 2009)

Sejam três círculos ${\Gamma }_1,{\Gamma }_2,{\Gamma }_3$, que não se sobrepõem e são mutuamente externos, sejam dados no plano. Para cada ponto $P$ no plano, fora dos três círculos, construa seis pontos $A_1,B_1,A_2,B_2,A_3,B_3$ da seguinte forma: Para cada $i=1,2,3$, $A_i,B_i$ são pontos distintos no círculo ${\Gamma }_i$ tais que as linhas $P{A}_i$ e $P{B}_i$ são ambas tangentes a ${\Gamma }_i$. Chame o ponto $P$ de excepcional se, da construção, três linhas $A_1{B}_1,A_2{B}_2,A_3{B}_3$ forem concorrentes. Mostre que todo ponto excepcional do plano, se existir, está no mesmo círculo.