Q1 Matemática  (APMO 2009)

Considere a seguinte operação sobre números reais positivos escritos em um quadro-negro: Escolha um número $r$ escrito no quadro-negro, apague esse número e então escreva um par de números reais positivos $a$ e $b$ satisfazendo a condição $2r^2=ab$ no quadro. Suponha que você comece com apenas um número real positivo $r$ no quadro-negro e aplique esta operação $k^2-1$ vezes para terminar com $k^2$ números reais positivos, não necessariamente distintos. Mostre que existe um número no tabuleiro que não excede kr.