Q4 Matemática  (APMO 2006)

Sejam $A,B$ dois pontos distintos em um círculo dado $O$ e seja $P$ o ponto médio do segmento de reta AB. Seja $O_1$ o círculo tangente à reta $AB$ em $P$ e tangente ao círculo $O$. Seja $l$ a reta tangente, diferente da reta $AB$, a $O_1$ que passa por $A$. Seja $C$ o ponto de interseção, diferente de $A$, de $l$ e $O$. Seja $Q$ o ponto médio do segmento de reta $BC$ e $O_2$ o círculo tangente à reta $BC$ em $Q$ e tangente ao segmento de reta $AC$. Prove que o círculo $O_2$ é tangente ao círculo $O$.