Q5 Matemática  (APMO 1994)

Você recebe três listas $A$, $B$ e $C$. A lista $A$ contém os números da forma $10^k$ na base $10$, com $k$ qualquer inteiro maior ou igual a $1$. As listas $B$ e $C$ contêm os mesmos números traduzidos na base $2$ e $5$ respectivamente: $$\begin{array}{lll}A& B& C\\ 10& 1010& 20\\ 100& 1100100& 400\\ 1000& 1111101000& 13000\\ ⋮& ⋮& ⋮\end{array}$$ Prove que para todo inteiro $n>1$, há exatamente um número em exatamente uma das listas $B$ ou $C$ que tem exatamente $n$ dígitos.