Q5 Matemática (APMO 1993)

05 | APMO | 1993 | Matemática

Sejam $P_{1}$ , $P_{2}$ , $\dots$ , $P_{1993} = P_{0}$ pontos distintos no plano $x y$ com as seguintes propriedades: (i) ambas as coordenadas de $P_{i}$ são inteiras, para $i = 1, 2, \dots, 1993$ ; (ii) não há outro ponto além de $P_{i}$ e $P_{i + 1}$ no segmento de linha que une $P_{i}$ com $P_{i + 1}$ cujas coordenadas são ambos inteiros, para $i = 0, 1, \dots, 1992$ . Prove que para algum $i$ , $0 \leq i \leq 1992$ , existe um ponto $Q$ com coordenadas $(q_{x}, q_{y})$ no segmento de reta que une $P_{i}$ com $P_{i + 1}$ tal que $2 q_{x}$ e $2 q_{y}$ são inteiros ímpares.