Q3 Matemática  (APMO 1992)

Seja $n$ um inteiro tal que $n>3$. Suponha que escolhemos três números do conjunto $\{1,2,\dots ,n\}$. Usando cada um desses três números apenas uma vez e usando adição, multiplicação e parênteses, vamos formar todas as combinações possíveis. (a) Mostre que se escolhermos todos os três números maiores que $\frac{n}{2}$, então os valores dessas combinações são todos distintos. (b) Seja $p$ um número primo tal que $p\le \sqrt{n}$. Mostre que o número de maneiras de escolher três números para que o menor seja $p$ e os valores das combinações não sejam todos distintos é precisamente o número de divisores positivos de $p-1$.