Q4 Matemática  (APMO 1990)

Um conjunto de 1990 pessoas é dividido em subconjuntos que não se intersectam de tal forma que 1. Ninguém em um subconjunto conhece todos os outros no subconjunto, 2. Entre quaisquer três pessoas em um subconjunto, sempre há pelo menos dois que fazem não se conhecem, e 3. Para quaisquer duas pessoas em um subconjunto que não se conhecem, há exatamente uma pessoa no mesmo subconjunto conhecendo ambas. (a) Prove que dentro de cada subconjunto, cada pessoa tem o mesmo número de conhecidos. (b) Determine o número máximo possível de subconjuntos. Nota: Entende-se que se uma pessoa $A$ conhece a pessoa $B$, então a pessoa $B$ conhecerá a pessoa $A$; um conhecido é alguém que é conhecido. Cada pessoa é assumida a conhecer a si mesmo.