Q4 Matemática  (Tuymaada 2007)

Determine o máximo real $k$ tal que exista um conjunto $X$ e seus subconjuntos $Y_1$, $Y_2$, $...$, $Y_{31}$ satisfazendo as seguintes condições: ( 1) para cada dois elementos de $X$ existe um índice $i$ tal que $Y_i$ não contém nenhum desses elementos; (2) se quaisquer números não negativos ${\alpha }_i$ forem atribuídos aos subconjuntos $Y_i$ e ${\alpha }_1+\cdots +{\alpha }_{31}=1$ então existe um elemento $x\in X$ tal que a soma de ${\alpha }_i$ correspondente a todos os subconjuntos $Y_i$ que contêm $x$ seja pelo menos $k$.