Q9 Matemática  (Tuymaada 2006)

Para um inteiro positivo, definimos seu conjunto de expoentes a lista não ordenada de todos os expoentes dos primos, em sua decomposição. Por exemplo, $18=2\cdot 3^2$ tem seu conjunto de expoentes $1,2$ e $300=2^2\cdot 3\cdot 5^2$ tem seu conjunto de expoentes $1,2,2$. São dadas duas progressões aritméticas $(a_n{)}_n$ e $(b_n{)}_n$, tais que para qualquer inteiro positivo $n$, $a_n$ e $b_n$ têm o mesmo conjunto de expoentes. Prove que as progressões são proporcionais (ou seja, existe $k$ tal que $a_n=k{b}_n$ para qualquer $n$). Proposto por A. Golovanov