Q13 Matemática  (Tournament Of Towns 2022)

Peter pegou um número inteiro positivo, multiplicou por 5, multiplicou o resultado por 5, depois multiplicou o resultado por 5 novamente e assim por diante. Ao todo foram feitas multiplicações de $k$. Acontece que as representações decimais do número original e de todos os números $k$ resultantes nesta sequência não contêm o dígito $7$. Prove que existe um inteiro positivo tal que pode ser multiplicado $k$ vezes por $2$ de modo que nenhum número nesta sequência contenha o dígito $7$.