Q42 Matemática  (Tournament Of Towns 2019)

Um cubo que consiste em cubos unitários $(2N{)}^3$ é perfurado por várias agulhas paralelas às bordas do cubo (cada agulha perfura exatamente cubos unitários $2N$). Cada cubo unitário é perfurado por pelo menos uma agulha. Vamos chamar qualquer subconjunto dessas agulhas de “regular” se não houver duas agulhas nesse subconjunto que perfurem o mesmo cubo unitário. a) Prove que existe um subconjunto regular consistindo de $2N^2$ agulhas tais que todas elas têm a mesma direção ou duas direções diferentes. b) Qual é o tamanho máximo de um subconjunto regular que existe com certeza? (Nikita Gladkov, Alexandr Zimin)