Q39 Matemática  (Tournament Of Towns 2019)

Seja $ABC$ um triângulo agudo. Suponha que os pontos $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ estejam em seus lados $BC,AC,AB$ respectivamente e que os segmentos $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime }$ se intersectem em um ponto comum $P$ dentro do triângulo. Para cada um desses segmentos, consideremos o círculo tal que o segmento é seu diâmetro, e a corda desse círculo que contém o ponto $P$ e é perpendicular a esse diâmetro. Todos esses três acordes ocorreram para ter o mesmo comprimento. Prove que $P$ é o ortocentro do triângulo $ABC$. (Grigory Galperin)