Q10 Matemática (Tournament Of Towns 2016)

10 | Tournament Of Towns | 2016 | Matemática

Em um quadro-negro, vários polinômios de grau $37$ são escritos, cada um deles tem o coeficiente principal igual a $1$ . Inicialmente todos os coeficientes de cada polinômio são não negativos. Com um movimento é permitido apagar qualquer par de polinômios $f, g$ e substituí-lo por outro par de polinômios $f_{1}, g_{1}$ de grau $37$ com os coeficientes principais iguais a $1$ tal que $f_{1} + g_{1} = f + g$ ou $f_{1} g_{1} = f g$ . Prove que é impossível que, após algum movimento, cada polinômio no quadro-negro tenha $37$ de raízes positivas distintas. (8 pontos) Aleksandr Kuznetsov